சிக்கல் எண்கள் என்ற Complex numbers யின் அடிப்படை என்ன என்பது பற்றி புரியாமலேயே படித்திருப்போம்.
-1 என்ற எண்ணுக்கு வர்க்க மூலம் (Square root) என்ன வரும்? என்ற கேள்விக்கான விடையாக ’i’ என்ற ஆங்கில எழுத்தைச் சொல்லி அதைத் தொடர்ந்து
i x i = (-1) என்ற வாய்ப்பாட்டைப் படித்து அப்படியே போய்விடுவோம்.
அந்த ’i’ க்கு அர்த்தம் இருக்கிறதா இல்லையா என்று ஆராயாமல் போய்விடுவோம்.
நிச்சயமாக அந்த ’i’ க்கு லாஜிக்கலாக ஒரு தர்க்கமாக ஒரு அர்த்தம் இருக்கிறது. முதன் முதலில் Negative எண்களான -1, -2 எல்லாம் வரும் போது அதை ஆய்லர் போன்ற பெரிய கணித மேதைகளே ஏற்றுக் கொள்ளவில்லை.
மூணு ஆப்பிள்ல இருந்து எப்படிண்ணே நாலு ஆப்பிள எடுக்க முடியும் என்ற ரீதியில் அதை கிண்டல் செய்தார்கள். ஆனால் இப்போது Negative எண்களை தர்க்கமாக நம்மால் புரிந்து கொள்ள முடிகிறதுதானே.
ஒரு பல்லி ஒரு மீட்டர் ஏறும் போது கால் மீட்டர் சறுக்குகிறது என்பது மாதிரியான கணக்குகளில் -1, -2 எல்லாம் தேவைப்படுகிறது.
எனக்கு 1000 ரூபாய் கடன் இருக்கிறது என்ற வாக்கியத்தை -1000 என்ற ஒற்றைக் குறியீட்டால் குறிக்க முடிகிறது. அது மாதிரி சிக்கலெண்களுக்கும் ஒரு அர்த்தம் இருக்கிறது.
நடைமுறை அர்த்தம் பற்றி பேசும் முன்பு, ஒரு Graph sheet யில் சிக்கலெண்கள் எப்படி எங்கே வருகிறது என்று பார்க்கலாம்.
1.இந்த இந்த நான்கு படங்களிலும் பாருங்கள் சைபர் நடுவில் இருக்க வலது பக்கம் 1,2 என்று இருக்க இடது பக்கம் -1,-2 என்று இருக்கிறது.
1ம் -1ம் ஒன்றுதான். ஒரே மதிப்புதான். அதன் திசைதான் எதிர் எதிரானது. ஆனால் எல்லாம் ஒரே நேர் கோட்டில் இருக்கிறது பாருங்கள்.
2.ஆக 1,-1,0,2,-2 .. எல்லாம் ஒரு நேர் கோட்டில் இருக்கின்றன. நேர் கோடு . அது போல வட்டமான ஒரு வட்டத்தின் அடிப்படையில் வருவதுதான் சிக்கலெண். ஆக சிக்கலெண் என்றால் நினைவுக்கு வர வேண்டியது வட்டம். வட்டம் .வட்டம்.
3. படம் 1 ஐப் பாருங்கள் (-2) x (-2) என்பதை ஒன்றிலிருந்து தொடங்கும் வட்டமாக காட்டியிருக்கிறார்கள். (-2) x (-2) =4 தானே . ஒன்றிலிருந்து -2 வருகிறது, அடுத்து நான்கை அடையும் போது அது முழுமையடையாத வட்ட வடிவமாக போய்விடுகிறது.
4.ஆனால் -1ஐக் கொண்டு எந்த எண்ணைப் பெருக்கினாலும் அது வட்டமாக வருகிறது. -1x-1 எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். படம் 2யில் அது கொடுக்கப்பட்டிருக்கிறது.
-1x- 1 =1 ஆகும்.
அதைப் படத்தில் எப்படி சொல்லியிருக்கிறார்கள். 1 யில் புறப்பட்ட வட்டம் -1 க்கு வருகிறது. மறுபடி அதே மாதிரியாக சுழன்றால் 1 க்கு போய்விடுகிறது.
ஆக -1x- 1 =1 என்பதை ஒரு வட்டமாக காட்ட முடிகிறது.
-1 என்பது ஒரு பாதி வட்டம், இன்னொரு -1 என்பது இன்னொரு பாதி வட்டம். அப்படியானால் இங்கே ஒரு ”வட்டத்தின் பாதி” வர்க்க மூலமாகவும் வருகிறது.
-1x- 1 =1 என்பதை வட்டமாக குறித்தால் அதன் வர்க்க மூலமாகிய -1 ஐ அரைவட்டமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்.
5. படம் 3 ஐப் பாருங்கள் அரை வட்டம் -1...
சரியா ... அரைவட்டம் =-1 ...
அப்படியானால் -1 என்பதின் வர்க்க மூலம் என்ன? 1(முழுவட்டம்) யின் வர்க்க மூலம் -1 (அரைவட்டம்) ஆக இருக்கும் போது, -1யின் (அரைவட்டம்) வர்க்க மூலம் ஏன் கால்வட்டமாக இருக்கக்கூடாது என்கிறார் கணித மேதை ஆர்கண்ட்.
ஆக கால்வட்டம் என்பதுதான் -1 யின் வர்க்கமூலம். அதாவது அந்த கால்வட்டம்தான் நான் குறிப்பிடும் ’i’.
6.படம் 4 ஐப் பாருங்கள் i,2i,3i.... என்று தனி அச்சை ஏற்படுத்தி இருக்கின்றன. அவைகளும் உண்மையான ஒன்றுதான்.
ஆனால் -1,0,1,2,3.... என்ற பொது எண்களின் அச்சை விலகி இருப்பதால் அதை கற்பனை எண்கள் என்றார்கள். அதானலேயே அதை சிக்கல் எண்கள் என்று சொல்கிறோம்.
7.இன்னொருமுறை இதை சுருக்கிச் சொல்கிறேன்.
A. -1x- 1 =1 என்பதை ஒரு வட்டமாக நிருபிக்கிறார்கள்
B. அந்த வட்டத்தின் பாதியான அரைவட்டம்தான் அதன் வர்க்கமூலமான -1 என்று நிருபிக்கிறார்கள்.
C.அப்படியானால் அரைவட்டத்தின் பாதியான கால்வட்டம்தானே -1 என்பதின் வர்க்க மூலம் என்று சொல்கிறார்கள்.
D.அந்த கால்வட்டத்தின் உச்சப் புள்ளியை ’i’ என்று குறிக்கிறார்கள்.
E.இப்படியாக i,2i,3i.... என்ற சிக்கல் எண்கள் தனி அச்சை ஏற்படுத்துகின்றன.
இப்படியாக Complex numbers யின் அடிப்படையை புரிந்து கொள்ளலாம்.
இதைப் படித்தால் புரிகிறதா? இல்லையா?
கொஞ்சமாவது கணிதம் மேல்,சிக்கல் எண் மேல் ஒரு Feel ஒரு உணர்வு வருவது மாதிரி எழுதியிருக்கேனா என்று நீங்கள்தான் சொல்ல வேண்டும்.
