Saturday 16 August 2014

Buffon's needle problem.

இருநூறு ஆண்டுகள் முன்னால், ப்ரெஞ்சு கணித அறிஞர் பஃப்பன் ( Buffon) ஒரு வெள்ளைப் பேப்பரை எடுத்துக் கொண்டார்.

அதில் சம இடைவெளி விட்டு நீள கோடுகளை வரைந்து கொண்டார்.அதன் மேலே ஊசிகளை ரேண்டம் (Random) ஆக தூவினார்.

பேப்பரில் வரைந்திருக்கும் கோடுகளின் மேல் எத்தனை ஊசிகள் பட்டிருக்கின்றன. படாமல் எத்தனை ஊசிகள் இருக்கின்றன என்று ஆராய்ந்தார்.

அதன் பின்னால் எதாவது அறிவியல் இருக்கிறதா என்று யோசித்தார். அதுதான் புகழ்பெற்ற Buffon's needle problem.

பேப்பரில் வரைந்திருக்கும் நீளமான சம இடைவெளி கோடுகளுக்கிடையே, இருக்கும் இடைவெளியை விட,
ஊசியின் நீளம் பெரிதானால், கிட்டத்தட்ட எல்லா ஊசிகளும் கோடுகளை தொட்டுக் கொண்டுதான் இருக்கும்.

அதனால் Buffon's needle problem த்தின் முக்கிய அம்சமாக நீளக் கோடுகளுக்கிடையே இருக்கும் இடைவெளியை விட, ஊசியின் நீளம் குறைவு என்றே எடுத்துக் கொள்வோம். ( ஒரு Ruled note ல குண்டுப் பின்ன போடுறத நினைச்சிக்கோங்க. குண்டுப்பின்னோட நீளம், ரூல்டு கோடுகளின் இடைவெளியை விட குறைவு சரியா)

அப்படிப் போட்டு ஆராய்ச்சி செய்தா இப்படி ஒரு வாய்ப்பாடு தோராயமா கிடைக்குது.



ஊசி குறுக்கே விழும் நிகழ்வு எண்ணிக்கை P = (2/π)( L / d)

இதுல

L = ஊசியோட நீளம்
d = இரண்டு கோடுகளுக்குள்ள இருக்கிற இடைவெளி

P = ஊசி எத்தனை முறை கோட்டில் விழுந்தது என்பதை, எத்தனை முறை ஊசி போடப்பட்டது என்பதால் வகுத்தால் கிடைப்பது ”P” ஆகும்

இதே வாய்ப்பாட இப்படியும் எழுதலாம்  π= (2 / P)( L / d)

”பை” யோட மதிப்பு நமக்கு தெரியும்தானே 3.14

இப்போ பஃப்பனோட இந்த வாய்பாடு சரியா தப்பா அப்படின்னு லாசாரினி  Lazzarini ங்கிறவரு சோதனை போட்டாரு.

லாசாரினி என்ன செய்தாரு...

5 மில்லி மீட்டர் அளவுள்ள ஊசிய எடுத்துக் கிட்டாரு... அத 6 மில்லி மீட்டர் இடைவெளி உள்ள கோடுகள் கொண்ட பேப்பரில் போட்டுப் பார்த்தாரு.

நல்லா கவனியுங்க...  5 மில்லி மீட்டர் என்பது 6 ஐ விடக் குறைவு. முதல்லே இந்தக் கண்டிசன சொல்லிருக்கிறோம்.

சரி ஊசியப் போட்டாரா... எத்தன வாட்டிப் போட்டாரு.  3408 தடவ போட்டாராம்.

அதுல ஊசி எத்தன தடவ கோட்ட தொட்டுச்சாம்.  1808 தடவ தொட்டிச்சாம்

அப்ப N = 1808/3408 = 0.53 ஆகும்

இப்ப இந்த மதிப்புள்ள வாய்ப்பாட்ல அப்ளை செய்யலாம் (2 / P)( L / d) = (2/0.53)(5/6)= 3.14

இப்படியும் ”பை” யின் மதிப்பை கண்டறியலாம்.

இது ரொம்ப ரொம்ப எளிதான ஆரம்பம்தான். முடிந்தவரை புரியும் படி கூறியிருக்கிறேன்.

Geometric probability என்ற துறையின் அடிப்படை இது என்று நினைக்கிறேன்.

இதை படித்து புரிந்து கொண்ட போது மிகுந்த மனநிறைவை அடைந்தேன்...


1 comment:

  1. https://m.youtube.com/watch?v=sJVivjuMfWA
    Well shown with simple experiment

    ReplyDelete