Gabriel's Horn

Graph என்பதை நான் என்றாவது ஃபீல் செய்திருக்கிறோமா?

Graph தெரியாதவர்களே கிடையாது.ஆனால் உணர்ந்திருக்கிறோமா என்பது முக்கியம்.

கணிதத்திலும் அறிவியலிலும் உணர்வு முக்கியம்.இந்தியர்களுக்கு இந்த உணர்வு குறைவு என்பது என் சொந்தக் கருத்து.

பள்ளி நாட்களில் நம் உணர்வை அறிவையை தூண்டி கிளர்ச்சி செய்யக் கூடிய பல அறிவின்பத்தை ஏனோ தானோ என்று படித்து கடந்து விடுகிறோம்தானே.

அது மாதிரி சக்கையாக படித்து வெளியே வரும் டாப்பிக்களில் முக்கியமானது Graph ஆகும்.

Graph ஐ ஒரு பள்ளிச் சிறுவன் ரசித்து புரிந்து உணர்ந்து செய்தால் நிச்சயம் அவனால் பிற்காலத்தில் தன் கணித அறிவியல் கற்பனைகளை விரிக்க முடியும்.

Graph ஐப் பார்ப்போம். Y=1/X என்ற சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம்.

இந்த சமன்பாட்டை Graph யின் துணையோடு வடிவமாக்க முடியும். உதாரணமாக
Y=1/X என்ற சமன்பாட்டில் எக்ஸ்க்கு ஒவ்வொரு மதிப்பாக கொடுத்து புள்ளி ஜோடிகளை கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

1.எக்ஸ்க்கு 1 என்ற மதிப்பைக் கொடுத்தால் வொய் என்னவாகும்... Y=1/(1) = 1... அப்படியானால் X,Y = (1,1)

2. எக்ஸ்க்கு 2 என்ற மதிப்பைக் கொடுத்தால் வொய் என்னவாகும்... Y=1/(2) = 0.5... அப்படியானால் X,Y = (2,0.5)

2. எக்ஸ்க்கு 3 என்ற மதிப்பைக் கொடுத்தால் வொய் என்னவாகும்... Y=1/(3) = 0.333... அப்படியானால் X,Y = (3,0.333)

2. எக்ஸ்க்கு 4 என்ற மதிப்பைக் கொடுத்தால் வொய் என்னவாகும்... Y=1/(4) = 0.25... அப்படியானால் X,Y = (4,0.25)

நான்கு புள்ளி ஜோடிகளான (1,1) (2,0.5) (3,0.333) (4,0.25) கிராஃப் தாளில் குறிக்க வேண்டும்.

கிராஃப் ஷீட்டில் எக்ஸ் அச்சில் ஒன்று இரண்டு மூன்று நான்கிருக்கும். வொய் அச்சிலும் அப்படியே.

(1,1) என்பதை எப்படிக் குறிப்போம். வலது கை ஆட்காட்டி விரலை வைத்து எக்ஸ் அச்சில் உள்ள ஒன்றைத்(1) தொட வேண்டும். இடது கை ஆட்காட்டி விரலை வைத்து வொய் அச்சில் உள்ள ஒன்றைத்(1) தொட வேண்டும்.

இரண்டு வரல்களையும் தாளைதடவியபடி மேலே முன்னேற வேண்டும்.இரண்டும் வெட்டும் இடத்தில் (1,1) என்று குறிக்க வேண்டும். இப்படியே மிச்ச மூன்று புள்ளிகளையும் குறித்து அதை இணைத்து பார்த்தால் ஒரு வடிவம் கிடைக்கும்.

ஆக Y=1/X என்ற அல்ஜிப்ரா குறியீடை வடிவமாக மாற்றிவிட்டோம்.

இப்படி உலகில் எந்த சமன்பாட்டையும் வடிவமாக( இருப்பரிமாண, முப்பரிமாண) மாற்ற முடியும். அந்த வடிவத்தையும் சமன்பாடாக மாற்ற முடியும். இதைத்தான் Graph சிறுவயதில் நமக்குக் கற்றுக் கொடுக்கிறது.

இனி வருவது உபரித்தகவல்கள்...

1.இந்த Y=1/X என்பது ”தட்டையான நாதஸ்வரத்தை” (கவனிக்க ”தட்டையான”) நீளவாக்கில், பாதியாக வெட்டி வடிவத்தைக் கொடுக்கிறது. (புரஃபைல் போட்டோ பார்க்கவும்). ஆங்கிலத்தில் Trumphet வடிவம் என்கிறார்கள். நாதஸ்வரமா Trumpet என்று கேட்காதீர்கள்.

2.இந்த தட்டை நாதஸ்வரத்தை முப்பரிமாண வடிவமாக்கிக் அதன் பரப்பளவையும், கன அளவையும் அளந்து காட்டியவர் விஞ்ஞானி டாரிசெலி (Torricelli)

3.அப்படி அவர் பரப்பளவையும் கன அளவையும் கண்டுபிடிக்கும் போது சுவாரஸ்யமான முரண்பாட்டைக் கண்டார்.

4.நாதஸ்வரத்தின் பரப்பளவை தொகைநுண் கணிதம் (Integration) உதவியோடு கண்டுபிடிக்கும் போது அதன் பரப்பளவு (surface area) முடிவற்றதாக அளக்கமுடியாததாக வருகிறது ( infinity)

5.அதே நாதஸ்வரத்தின் கனஅளவை(volume) தொகைநுண் கணிதம் வழியாக கண்டுபிடிக்கும் போது அந்த கனஅளவு அளக்கக் கூடியதாக இருக்கிறது.

6.ஒரே பொருளின் பரப்பளவு அளக்கமுடியாத முடிவற்றதாகவும், ஆனால் அதன் கனஅளவு அளக்கக்கூடியதாகவும் ஆகும் போது அது சுவையான கணித முரண்பாடாக( Paradox) ஆகிவிடுகிறது. அந்த Paradox பெயர் Gabriel's Horn அல்லது Gabriel's Trumpet Paradox ஆகும்.

7.அதாவது அந்த நாதஸ்வரத்துக்கு பெயிண்ட் அடிக்க அடிக்க வந்து கொண்டே இருக்கும். முடிவே இருக்காது பரப்பளவுக்கு... ஆனால் உள்ளே நீரை ஊற்றினால் அதற்கு அளவு இருக்கும் 

8.அது யார் கேப்ரியல் என்று கேட்டால் பைபிளில் வரும் தேவ தூதர் ஆவார். நியாத்தீர்ப்பு நாளுக்கான எக்காளத்தை(Horn) ஊதுவதற்காக காத்திருப்பவர் (?) என்று கிறிஸ்தவர்களால் நம்பப்படும் தூதனாவார்.